સાબિત કરો કે નીચેની સંખ્યા અસંમેય છે: $\sqrt{11}$

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{11}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\sqrt{11} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $11 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 11b^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $11$ વડે વિભાજ્ય છે. $11$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,$a$ પણ $11$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $a = 11k$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(11k)^2 = 11b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $121k^2 = 11b^2$ અથવા $b^2 = 11k^2$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે $b^2$ એ $11$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$b$ પણ $11$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$a$ અને $b$ બંને $11$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો સામાન્ય અવયવ $11$ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે,અને $\sqrt{11}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.